二项式定理公式
两数和的n次幂展开式
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公式展示
(a+b)^n=Σ_{k=0}^n C(n,k)a^(n-k)b^k
n为非负整数，C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)
字母含义
字母
含义
n
幂次(非负整数)
C(n,k)
组合数=n!/(k!(n-k)!)
k
b的幂次(0到n)
公式详解
二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，系数为杨辉三角(帕斯卡三角)。
通项
：T_{k+1}=C(n,k)a^(n-k)b^k(第k+1项)
系数性质
：C(n,k)=C(n,n-k)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n
杨辉三角
：每行系数对应(a+b)^n的展开系数
奇数项和=偶数项和
=2^(n-1)
最大系数
：n为偶数时中间项最大，n为奇数时中间两项最大
推广
：任意实数α的二项式级数(牛顿二项式)
典型例题
例1：n=3
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
例2：求特定项
(x+1/x)^6中常数项。
T_{k+1}=C(6,k)x^(6-2k)，令6-2k=0→k=3，常数项=C(6,3)=20
例3：系数和
(2x+1)^5的各项系数和。
令x=1，系数和=3^5=243
常见误区与注意事项
通项是第k+1项
T_{k+1}=C(n,k)a^(n-k)b^k，k从0开始。
二项式系数和项的系数
C(n,k)是二项式系数，项的系数可能含a,b中的数字因子。
n为正整数
二项式定理中n为非负整数。实数指数用二项式级数。
常见问题
二项式定理通项是什么？
T_{k+1}=C(n,k)a^(n-k)b^k，是展开式的第k+1项。
二项式系数和是多少？
所有二项式系数之和=2^n。奇数项和=偶数项和=2^(n-1)。
杨辉三角和二项式什么关系？
杨辉三角第n行(从0开始)就是(a+b)^n的二项式系数。
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